lunes, 13 de mayo de 2013

NUMEROS COMPLEJOS


Cantidades imaginarias.- Se llaman cantidades imaginarias a las raíces de índice par y radicando negativo.
             4 -16            
   
                                       
UNIDAD IMAGINARIA.- Llamaos unidad imaginaria a la raíz cuadrada de menos uno y simbólicamente representamos por la letra i    -1  = 1 i              unidad imaginaria.
NUMEROS COMPLEJOS.- Los números complejos son los que están formados de una parte real y una parte imaginaria.
                               5 +    -25 
                       REAL          IMAGINARIA
Para extraer la raíz cuadrada de una cantidad negativa multiplicamos dicha raíz cambiando de signo por la unidad imaginaria.
    -25   =       25             - 1     = ±  5 i
Ejemplo la cantidad empleada                          7+3i
                                                                REAL    IMAGINARIA
Las cantidades complejas se pueden representar como un par ordenado de elementos es decir encerrado entre paréntesis y separados por una coma en donde la primera componente es la parte real y la segunda componente es la parte imaginaria.
            (7,5)
 REAL      IMAGINARIA
También se puede representar en forma binomica o rectangular.
                                                                                    7+3i
                                                                         REAL    IMAGINARIA
Operaciones con números complejos.
Con los números complejos podemos realizar las siguientes operaciones.
SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS
La suma de dos o más números complejos nos da como resultado otro número complejo que se obtiene al sumar las partes reales y las imaginarias entre sí.
                     REALES 8,7,-3,12
(8, - 5) + (7,4) + (- 3, 5) = (12,4)
              IMAGINARIAS -5,4,5,4
RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS
Para restar dos números complejos el minuendo le sumamos el inverso aditivo del sustraendo.
Minuendo      Sustraendo
          (9, - 4) – (- 7,3)
 (9, - 4) + (7, - 3) = (16, - 7)
CASOS PARTICULARES
La suma de dos cantidades complejas conjugadas da como resultado una cantidad real.
(7,5) + (7,- 5) = 14
La resta de dos números complejos conjugados da como resultado una cantidad imaginaria pura.
(7,5) - (7,- 5) = (0,10) = 10i
MULTIPLICACION DE NUMEOROS COMPLEJOS
Para multiplicar dos números complejos, utilizamos la forma binomica, multiplicamos como binomio y remplazamos la potencia de la unidad imaginaria por su equivalente
(5,3) x (4,5)
20+25i +12i + 15i2
Como i2 = -1    tenemos
20+25i +12i + 15 (-1)
20+25i +12i – 15
Reduciendo términos semejantes tenemos
5 + 37i
El producto de dos cantidades complejas conjugadas da como resultado una cantidad real
(6,4) (6, - 4)
36-16i2
36 + 16
52
DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS
Para dividir dos cantidades complejas, utilizamos la forma binomica, expresamos como fracción y racionalizamos el denominador.
(6,4) ÷ (7, - 5)
6 + 1i . 7 + 5i  = 42 + 30i + 28i +20i2  = 22 + 58i
7 - 5i    7 + 5i              49 - 25i2                      74


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LOGARITMOS


Se llama logaritmo de un número  al exponente al que hay que elevar un número llamado base para obtener un número dado.

Log216=4   ya que  24=16
En el ejemplo anterior se lee “log de 16 en base 2 es igual a 4”
Cualquier número entero, positivo y diferente de 1 puede ser llamado como base.
Propiedades de los logaritmos.
1.-  El logaritmo de uno en cualquier base siempre es cero.
Logn1 = 0
Log51 = 0
2.- El logaritmo de la base siempre es 1.
Logbb = 1
Log44 = 1
3.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de sus logaritmos.
Log (AxB) = logA + logB
Log (5x4) = log5 + log4 = 20
4.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
Log (A/B) = logA – logB
Log (8/4) = log8 – log4 = 2
5.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.
Log An = n log A
Log45 = 5 log 4 = 1024
6.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido para el índice radical.
Log    n  A   = log A
                           n 
log   2   25      =  log25     =   5
                               2   


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OPERACIONES CON FRACCIONES



SUMA DE FRACCIONES
FRACCIONES IMPROPIAS
FRACCIONES HOMOGENEAS
REGLA PARA RESOLVER.- Como son fracciones homogéneas el mínimo común múltiplo es el mismo denominador de todas las fracciones. Se escribe el denominador  y se suman los numeradores. EJEMPLO.-        4/5+8/5=12/5
El 4, 8, y el 12son los numeradores.
El 5es el denominador y el factor común.
FRACCIONES HETEROGENEAS
REGLA PARA RESOLVER.- Se saca el mínimo común múltiplo de los denominadores. El mínimo común múltiplo le dividimos  para cada denominador y le multiplicamos por sus respectivos numeradores.
EJEMPLO.-                   4/6+5/3+5/9
                           12+30+10
                                18
                           52/18
                                26/9
El 18es el mínimo común múltiplo.
El 12+30+10son los términos que resultan de la división del mínimo común múltiplo para cada denominador y multiplicados por cada numerador.
FRACCIONES MIXTAS
REGLA PARA RESOLVER.- Le podemos convertir en fracciones impropias. Le convertimos en fracciones impropias multiplicando el número entero con el denominador y le sumamos el numerador, de base queda el mismo denominador. También podemos resolver sumando los números enteros y luego las fracciones.
EJEMPLO.-                      34/5+ 4 8/3                                 7  52/15
                                      19/5 + 20/3                                   10 7/15
                                                57 + 100
                                                   15  
                                            157/15
                                             10 7/15
El 19/5 + 20/3son las fracciones que resultan de la conversión de las fracciones mixtas.
 
RESTA DE FRACCIONES
Toda las reglas de la suma de fracciones pero con el signo menos (-).
En la suma y resta de fracciones se simplifican  cada numerador con su propio denominador.

MULTIPLICACION DE FRACCIONES
REGLA PARA RESOLVER.- En estas fracciones se multiplica los numeradores con los numeradores y los denominadores con los denominadores. Se puede simplificar  cualquier numerador con cualquier denominador.
EJEMPLO.- 9/4. 3/5 =  27/20
DIVISION DE FRACCIONES
REGLA PARA RESOLVER.-  Le multiplicamos cruzado, numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción.
EJEMPLO.-                   4/3 ÷  5/7 = 28/15


 
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