FACTOR
COMUN SIMPLE
COMO RECONOCER.-Tiene dos o más términos.
En cada término hay un factor común.
REGLA PARA RESOVER.- Sacamos el factor
común del coeficiente. Sacamos el factor común de la parte literal. Encontramos
la parte no común dividiendo cada término del polinomio para el factor común.
EJEMPLO.- 6a8-8a2+12a4 = 2a2(3a4-4+6a2)
El 2a2 es el factor común.
El (3a4-4+6a2) son los
factores no comunes.
FACTOR
COMUN POR AGRUPAMIENTO
COMO RECONOCER.- Tiene cuatro o más
términos. Debe haber factor común en dos o más términos.
REGLA PARA RESOVER.- Agrupamos observando que los términos tengan
factor común. Sacamos factor común de cada grupo.
EJEMPLO.- 4ax2-2ax+2bx+2xy-ay-by
(4ax2-2ax+2bx)+(2xy-ay+by)
2x(2x-a+b)
+y(2x-a+b)
(2x+y)(2x-a+b)
El (4ax2-2ax+2bx)es el primer grupo que tienen factor común.
El (2xy-ay+by) es el segundo grupo que tienen factor
común.
El 2x es el factor común del primer
grupo.
El (2x-a+b)son los factores no comunes del
primer grupo.
El yes
el factor común del segundo grupo.
El (2x-a+b)son los factores no comunes del
segundo grupo.
El (2x+y) son los factores no comunes de todo el ejercicio.
El (2x-a+b)son
los factores comunes de toda la operación.
DIFERENCIA DE CUADRADOS
COMO RECONOCER.- Dos términos separados por
el signo menos. Los dos deben ser cuadrados perfectos.
REGLA PARA RESOLVER.- Sacamos la raíz de
los dos términos. Expresamos como el producto de la suma por la diferencia.
EJEMPLO.- 4x2-16y4
2x - 4y2
(2x+4y2)(2x-4y2)
El 2xes la raíz del primer término.
El 4y2es la raíz del segundo término.
El (2x+4y2) es
la suma.
El (2x-4y2)es la diferencia.
SUMA
Y DIFERENCIA DE CUBOS
COMO RECONOCER.- Tiene dos términos
separados por el signo más o menos. Los dos deben ser cubos perfectos o
múltiplos de tres.
REGLA PARA
RESOLVER.- Producto de dos factores: El primer factor es la suma o la
diferencia de las raíces cubicas, el segundo factor es un trinomio formado por
el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces y más el
cuadrado de la segunda raíz. En el segundo factor los signos van con más cuando
es diferencia y cuando es suma van los signos alternados.
EJEMPLO.- 27a3-64b3
8m6+125n6
(3a-4b) (9a2+12ab+16b2) (2m2+5n2) (4m4-10mn+25n4)
El (3a-4b)y
el (2m2+5n2)
son las raíces cubicas respectivamente de cada ejercicio.
El 9a2y
el 4m4son
el cuadrado de las primeras raíces.
El +12aby
el -10mnson
el producto de las dos raíces.
El +16b2y
el +25n4
son el cuadrado de las segundas raíces.
SUMA DE
POTENCIAS CON EXPONENTE PAR E IMPAR
COMO RECONOCER.- Tienen dos términos, separados por el signo más.
Elevados a un mismo exponente par o impar.
REGLA PARA RESOLVER.- Producto de dos factores: En el primer factor se
escribe la suma de sus raíces, en el
segundo factor se escribe un polinomio
descendiente de grado menor en una unidad con respecto al primer término y
ascendiente con respecto al segundo término.
Con signos alternados.
EJEMPLO.- 32x5+1
(2x+1)(16x4-8x3+4x2-2x+1)
El (2x+1)es
la suma de sus raíces.
El (16x4-8x3+4x2-2x+1)es
el polinomio descendiente con respecto al primer término y ascendiente con
respecto al segundo término.
DIFERENCIA
DE POENCIAS CON EXPONENTE PAR O IMPAR
COMO RECONOCER.- Tienen dos términos separados por el signo menos.
Elevados a un mismo exponente par o impar.
REGLA PARA RESOLVER.- La regla es la misma dela SUMA DE POTENCIAS CON EXPONENTE PAR E
IMPAR pero con los signos positivos en
el polinomio.
EJEMPLO.- x4-y4
(x-y)
(X3+x2y+xy2+y3)
El (x-y)
es la resta de sus raíces.
El (X3+x2y+xy2+y3)es
el polinomio descendiente con respecto al primer término y ascendiente con
respecto al segundo término.
TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO
COMO RECONOCER.- Tiene 3 términos. El primero y el tercero son cuadrados
perfectos. El segundo es el doble producto de la raíz del primero por la raíz
del segundo.
REGLA PARA RESOLVER.- Se extrae las raíces cuadradas del primer y tercer
término. Se separa con el signo del segundo término y se eleva al cuadrado todo
el binomio.
EJEMPLO.- 81a4-18a2y2+y2
(9a2-y2)2
El 9a2es
la raíz del prime termino.
El y2es
la raíz del tercer término.
El – es el signo del segundo
término.
El (9a2-y2)2es el binomio elevado al
cuadrado.
TRINOMIO
CUADRADO INCOMPLETO
COMO RECONOCER.- Tiene tres términos. El primero y el tercero son
cuadrados perfectos. El segundo no es el doble producto de la raíz del primero
por la raíz del tercero.
REGLA PARA RESOLVER.- Lo convertimos en trinomios cuadrados perfectos,
sumando y restando la cantidad que le falta al segundo término para que sea
trinomio cuadrado perfecto. Luego resolvemos como combinación del tres y
cuatro.
EJEMPLO.- a4 - 13a2y2 + 4y4
+9a2y2-9a2y2
(a4
– 4a2y2 + 4y4)-9a2y2
(a2-2y2)2
– 3ay
{(a2-2y2)
+ 3ay} {(a2-2y2) -
3ay}
El +9a2y2
es la cantidad que falta para que sea
trinomio cuadrado perfecto. Esta misma cantidad se resta para que no se altere
el ejercicio.
El (a4 – 4a2y2
+ 4y4)es el trinomio cuadrado perfecto.
El (a4
– 4a2y2 + 4y4)-9a2y2
es la combinación del caso tres y cuatro.
TRINOMIO DE
LA FORMA x2 + px + q
COMO RECONOCER.- Tiene tres términos. El primer término tiene como
coeficiente uno y una variable al cuadrado. El segundo término tiene un
coeficiente y la raíz de la variable del primer término. El tercer término es
independiente.
REGLA PARA RESOLVER.- Se descompone en dos factores: (x+a) (x+b) en el primer factor va el signo del segundo
término y en el segundo factor el producto de los signos del segundo y tercer
término y en cada termino va la raíz de la variable del primer término. Luego
buscamos dos números que multiplicados del el término independiente y sumados o
restados den el coeficiente del segundo término.
EJEMPLO.- x2-6x+8
(x-4)(x-2)
El (x-4)es el primer factor.
El (x-2)es
el segundo factor.
El xes
la raíz de la variable del primer término.
El – del primer factor es el signo del segundo
término.
El – del
segundo factor es el producto de los dos signos del segundo y tercer término.
El 4y
el 2son
los dos números que multiplicados dan el término independiente y sumados dan el coeficiente del segundo
término.
TRINOMIO DE
LA FORMA mx2 + px + q
COMO
RECONOCER.- Tienen tres términos. El primer término tiene un coeficiente
distinto de uno. El segundo término tiene un coeficiente y la raíz de la
variable del primer término y el tercer término es independiente.
REGLA PARA
RESOLVER.- Descomponemos el primer y el tercer término. La suma algebraica del
producto cruzado dará el coeficiente del segundo término.
EJEMPLO.- 6x2 – 7x –
20
2x- 5 =
-15x
3x+ 4 =
+ 8x
-7x
(2x-5) (3x+4)
El 2xy el 3xson
los dos números descompuestos del primer
término.
El – 5y
el + 4son
los dos números descompuestos del término independiente.
El -15x y el + 8xson los productos cruzados de
los cuatro números que sumados nos dará el segundo término que es el -7x.
CUBO DE UN BINOMIO
COMO
RECONOCER.- Tiene cuatro términos. El primer
y cuarto término son cubos perfectos. El segundo término es el triple producto de la raíz del primer
término elevado al cuadrado por el
segundo término. El tercer término es el triple producto de la raíz del
primer término por la raíz del segundo término elevada al cuadrado.
REGLA PARA
RESOLVER.- Se extrae la raíz cubica del primer y cuarto termino y se eleva al
cubo.
EJEMPLO.- 27
– 27x + 9x2 – x3
27=3
X3=x
3(9)(x)=27x
3(3) (x2)=9x2
(3+x)3
El 3es
la raíz cubica del primer término.
El xes
la raíz cubica del cuarto termino.
El 3(9)(x)es
el triple producto de la raíz cubica del primer término elevado al cuadrado por
la raíz del cuarto termino.
El 3(3) (x2)
es el triple producto de la raíz cubica del primer término por la
raíz cubica del cuarto termino elevado al cuadrado.
COMBINACION DEL CASO III Y IV
COMO
RECONOCER.- Tiene cuatro o seis términos. Tres términos de ellos forman un trinomio cuadrado perfecto
y el otro termino es negativo y cuadrado
perfecto.
REGLA PARA
RESOLVER.- Se agrupa el trinomio cuadrado y le resolvemos y luego con el término
restante le formamos la diferencia de
cuadrados.
EJEMPLO.- 4x2 + 25y2 – 36 +
20xy
(4x2 + 20xy + 25y2)
– 36
(2x+ 5y)2 – 6
{(2x + 5y) + 6} {(2x + 5y) - 6}
El (4x2
+ 20xy + 25y2)es el trinomio cuadrado perfecto.
El – 36es
el término restante.
El (2x+ 5y)2 –
6 es la diferencia de cuadrados.
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